精选2019年中考数学最全真题分类汇编全集之专题14 锐角三角函数(第01期)(解析版)

发布时间:2021-07-31 03:43:43

专题 14 锐角三角函数
1.(2019?广州)如图,有一斜坡 AB,坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若 tan
∠BAC= 2 ,则此斜坡的水*距离 AC 为 5

A.75m

B.50m

C.30m

D.12m

【答案】A

【解析】∵∠BCA=90°,tan∠BAC= 2 ,BC=30m,∴tan∠BAC= 2 = BC = 30 ,解得 AC=75,

5

5 AC AC

故选 A.

【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用–坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结

合的思想解答.

2.(2019?广西)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高 AB 为 1.5 米,她先

站在 A 处看路灯顶端 O 的仰角为 35°,再往前走 3 米站在 C 处,看路灯顶端 O 的仰角为 65°,则路灯

顶端 O 到地面的距离约为(已知 sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈

0.4,tan65°≈2.1)

A.3.2 米

B.3.9 米

C.4.7 米

D.5.4 米

【答案】C

【解析】如图,过点 O 作 OE⊥AC 于点 E,延长 BD 交 OE 于点 F,

设 DF=x,
∵tan65°= OF ,∴OF=xtan65°,∴BF=3+x, DF
∵tan35°= OF ,∴OF=(3+x)tan35°,∴2.1x=0.7(3+x),∴x=1.5, BF
∴OF=1.5×2.1=3.15,∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7,故选 C.
【名师点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义,本题属于中等题型.

3.(2019?甘肃)在△ABC 中,∠C=90°,tanA= 3 ,则 cosB=__________. 3

【答案】 1 2

【解析】∵tanA= 3 ,∴∠A=30°,∵∠C=90°,∴∠B=60°,∴cosB=cos60°= 1 .

3

2

故答案为: 1 . 2
【名师点睛】在解决解直角三角形形的问题中,牢记特殊角的三角函数值可以快速准确解题.

4.(2019?杭州)在直角三角形 ABC 中,若 2AB=AC,则 cosC=__________.

【答案】 3 或 2 5 25

【解析】若∠B=90°,设 AB=x,则 AC=2x,所以 BC= (2x)2 ? x2 = 3 x,所以 cosC= BC ? 3x ? 3 ; AC 2x 2

若∠A=90°,设 AB=x,则 AC=2x,所以 BC= (2x)2 ? x2 ? 5x ,

所以 cosC= AC ? 2x ? 2 5 ; BC 5x 5

综上所述,cosC 的值为 3 或 2 5 . 25

故答案为: 3 或 2 5 . 25
【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义:熟练掌握锐角三角函数的定义,灵活运用它们进行几何 计算. 5.(2019?深圳)如图所示,某施工队要测量隧道长度 BC,AD=600 米,AD⊥BC,施工队站在点 D 处看 向 B,测得仰角为 45°,再由 D 走到 E 处测量,DE∥AC,ED=500 米,测得仰角为 53°,求隧道 BC

长.(sin53°≈ 4 ,cos53°≈ 3 ,tan53°≈ 4 ).

5

5

3

【答案】隧道 BC 长为 700 米. 【解析】如图,在 Rt△ABD 中,AB=AD=600,作 EM⊥AC 于 M,
则 AM=DE=500,∴BM=100,
在 Rt△CEM 中,tan53°= CM = CM = 4 ,∴CM=800, EM 600 3
∴BC=CM–BM=800–100=700(米). 答:隧道 BC 长为 700 米. 【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题,熟知锐角三角函数的定义是解答此题的 关键. 6.(2019?海南)如图是某区域的*面示意图,码头 A 在观测站 B 的正东方向,码头 A 的北偏西 60°方向 上有一小岛 C,小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方向上,码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里. (1)填空:∠BAC=__________度,∠C=__________度; (2)求观测站 B 到 AC 的距离 BP(结果保留根号).

【答案】(1)30,45;(2)观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 3 –5)海里.

【解析】(1)由题意得:∠BAC=90°–60°=30°,∠ABC=90°+15°=105°, ∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°;故答案为:30,45; (2)∵BP⊥AC,∴∠BPA=∠BPC=90°, ∵∠C=45°,∴△BCP 是等腰直角三角形,∴BP=PC,
∵∠BAC=30°,∴PA= 3 BP,
∵PA+PC=AC,∴BP+ 3 BP=10,解得 BP=5 3 –5.
答:观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 3 –5)海里.
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–方向角问题,通过解直角三角形得出方程是解题的关键. 7.(2019?河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝
塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上,在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34°,再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处,测得塑像顶部 D 的仰角为 60°,求炎帝塑像 DE 的高度.
(精确到 1m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°=0.83,tan34°≈0.67, 3 ≈1.73)

【答案】炎帝塑像 DE 的高度约为 51m.

【解析】∵∠ACE=90°,∠CAE=34°,CE=55m,

∴tan∠CAE=

CE AC

,∴AC=

CE tan 34?

=

55 0.67

≈82.1(m),

∵AB=21m,∴BC=AC–AB=61.1(m),

在 Rt△BCD 中,tan60°= CD = 3 , BC

∴CD= 3 BC≈1.73×61.1≈105.7(m),

∴DE=CD–EC=105.7–55≈51(m). 答:炎帝塑像 DE 的高度约为 51m. 【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形,利

用三角函数的知识求解,难度适中. 8.(2019?甘肃)为了保证人们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的
范围是 260mm~300mm 含(300mm),高度的范围是 120mm~150mm(含 150mm).如图是某中学的 楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:AB,CD 分别垂直*分踏步 EF,GH,各踏步互相*行,AB=CD, AC=900mm,∠ACD=65°,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.(结果精确到 1mm,参 考数据:sin65°≈0.906,cos65°≈0.423)
【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定. 【解析】如图,连接 BD,作 DM⊥AB 于点 M,
∵AB=CD,AB,CD 分别垂直*分踏步 EF,GH, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴四边形 ABDC 是*行四边形, ∴∠C=∠ABD,AC=BD, ∵∠C=65°,AC=900, ∴∠ABD=65°,BD=900, ∴BM=BD?cos65°=900×0.423≈381,DM=BD?sin65°=900×0.906≈815, ∵381÷3=127,120<127<150, ∴该中学楼梯踏步的高度符合规定, ∵815÷3≈272,260<272<300, ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定, 由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.

【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用,解答本题的关键是明确题意,利用锐角三角函数和数形结 合的思想解答. 9.(2019?江西)图 1 是一台实物投影仪,图 2 是它的示意图,折线 B–A–O 表示固定支架,AO 垂直水 *桌面 OE 于点 O,点 B 为旋转点,BC 可转动,当 BC 绕点 B 顺时针旋转时,投影探头 CD 始终垂直于 水*桌面 OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到 0.1). (1)如图 2,∠ABC=70°,BC∥OE. ①填空:∠BAO=__________. ②求投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离. (2)如图 3,将(1)中的 BC 向下旋转,当投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离为 6cm 时,求∠ABC 的大小. (参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)
【答案】(1)①160;②投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离为 27cm;(2)当投影探头的端点 D 到桌 面 OE 的距离为 6cm 时,∠ABC 的大小为 33.2°. 【解析】(1)①过点 A 作 AG∥BC,如图 1,则∠BAG=∠ABC=70°,
∵BC∥OE,∴AG∥OE, ∴∠GAO=∠AOE=90°, ∴∠BAO=90°+70°=160°,故答案为:160; ②过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,如图 2,

则 AF=AB?sin∠ABF=30sin70°≈28.2(cm), ∴投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离为: AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27(cm); (2)过点 DH⊥OE 于点 H,过点 B 作 BM⊥CD,与 DC 延长线相交于点 M, 过 A 作 AF⊥BM 于点 F,如图 3,
则∠MBA=70°,AF=28.2cm,DH=6cm,BC=35cm,CD=8cm, ∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21(cm),
∴sin∠MBC= CM = 21 =0.6, BC 35
∴∠MBC=36.8°, ∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°. 【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,充分体现了数学与实际生活的密切联系,解题的关 键是构造直角三角形. 10.(2019?安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1,明朝科学家徐光启在《农政全书》
中用图画描绘了筒车的工作原理.如图 2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心 在水面上方,且圆被水面截得的弦 AB 长为 6 米,∠OAB=41.3°,若点 C 为运行轨道的最高点(C,O 的连线垂直于 AB),求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)

【答案】点 C 到弦 AB 所在直线的距离为 6.64 米. 【解析】如图,连接 CO 并延长,与 AB 交于点 D,

∵CD⊥AB,∴AD=BD= 1 AB=3(米), 2
在 Rt△AOD 中,∠OAB=41.3°,

∴cos41.3°=

AD OA

,即

OA=

3 cos 41.3?

=

3 0.75

=4(米),

tan41.3°= OD ,即 OD=AD?tan41.3°=3×0.88=2.64(米), AD

则 CD=CO+OD=4+2.64=6.64(米).

【名师点睛】此题考查了解直角三角形的应用,垂径定理,以及圆周角定理,熟练掌握各自的性质是

解本题的关键.

11.(2019?吉林)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座 A 与地面的距离 AB 为 170cm,花洒 AC

的长为 30cm,与墙壁的夹角∠CAD 为 43°.求花洒顶端 C 到地面的距离 CE(结果精确到 1cm).(参

考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)

【答案】花洒顶端 C 到地面的距离 CE 为 192cm. 【解析】如图,过点 C 作 CF⊥AB 于 F,
则∠AFC=90°, 在 Rt△ACF 中,AC=30,∠CAF=43°,
∵cos∠CAF= AF , AC
∴AF=AC?cos∠CAF=30×0.73=21.9, ∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192(cm). 答:花洒顶端 C 到地面的距离 CE 为 192cm. 【名师点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义, 本题属于中等题型. 12.(2019?新疆)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向,距离灯塔 80 海里的 A 处,它沿正南方向航行 一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处. (1)求海轮从 A 处到 B 处的途中与灯塔 P 之间的最短距离(结果保留根号); (2)若海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处,试判断海轮能否在 5 小时内到达 B 处,并说明理 由.
(参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45)

【答案】(1)海轮从 A 处到 B 处的途中与灯塔 P 之间的最短距离为 40 2 海里;(2)海轮以每小时
30 海里的速度从 A 处到 B 处,不能在 5 小时内到达 B 处. 【解析】(1)作 PC⊥AB 于 C,如图所示:

则∠PCA=∠PCB=90°, 由题意得:PA=80,∠APC=45°,∠BPC=90°-30°=60°, ∴△APC 是等腰直角三角形,∠B=30°,

∴AC=PC= 2 PA=40 2 . 2

答:海轮从 A 处到 B 处的途中与灯塔 P 之间的最短距离为 40 2 海里;
(2)海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处,海轮不能在 5 小时内到达 B 处,理由如下:
∵∠PCB=90°,∠B=30°,∴BC= 3 PC=40 6 ,

∴AB=AC+BC=40 2 +40 6 ,
∴海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处所用的时间=

40 2 ? 40 6 ? 4 2 ? 4 6 ? 4 ?1.41? 4 ? 2.45 ≈5.15(小时)>5 小时,

30

3

3

∴海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处,不能在 5 小时内到达 B 处.

【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质,正确作出辅助

线是解答此题的关键.

13.(2019?天津)如图,海面上一艘船由西向东航行,在 A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角

为 31°,再向东继续航行 30m 到达 B 处,测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45°,根据测得的数据,

计算这座灯塔的高度 CD(结果取整数).参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60.

【答案】这座灯塔的高度 CD 约为 45m.

【解析】在 Rt△CAD 中,tan∠CAD= CD , AD



AD=

CD tan 31?



5 3

CD,

在 Rt△CBD 中,∠CBD=45°,∴BD=CD,

∵AD=AB+BD,∴ 5 CD=CD+30,解得 CD=45, 3
答:这座灯塔的高度 CD 约为 45m.

【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用–仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三

角函数的定义是解题的关键.


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